توزیع های آماری و کاربرد های آن
آشنایی با انواع توزیع های آماری و کاربرد ها و ویژگی های آن ها از اهمیت ویژه ای برخوردار است و دانستن آن ها امتیاز ویژه ای در ورود به بازار کار مهندسی صنایع ایجاد می نماید و آشنایی با آن را به تمامی مهندسین صنایع توصیه می نماییم.
از آن جایی که تعداد توزیع های آماری بسیار زیاد می باشد و برخی از آن ها با تغییر برخی پارامتر ها قابل تبدیل به یکدیگر می باشند،لذا فقط توزیع های مهم و پرکاربردترین آن ها را ذکر خواهیم کرد.
این توزیع ها عبارتند از:
-
توزیع دو جمله ای(بینوم)
-
توزیع پواسن
-
توزیع یکنواخت
-
توزیع نرمال
-
توزیع نمایی
توزیع دو جمله ای
مجموعه ای از فرضیات وجود دارد که در صورت تحقق،به توزیع دو جمله ای می رسیم.این فرضیات عبارتند از:
1-تعداد n آزمایش انجام شده باشد.
2-هر آزمایش می تواند به پیروزی یا شکست منجر شود.
3-احتمال موفقیت p برای تمامی آزمایشات یکسان است.
4-نتیجه آزمایشات مستقل هستند.
5-ما به دنبال تعداد کل موفقیت ها در n بار انجام آزمایش هستیم.
تحت فرضیات فوق،Xرا تعداد کل موفقیت ها تعریف می کنیم.بنابراین متغیر تصادفی دو جمله ای تعریف می شود و توزیع احتمال X توزیع دو جمله ای نامیده می شود.
تابع جرم احتمال به شکل زیر است:
مقادیر n و p پارامتر های توزیع می باشند.
میانگین و واریانس این توزیع به شکل زیر است:
توزیع پواسن
توزیع پواسن یک توزیع پرکاربرد در شرایط کسب و کار می باشد و معمولا در مواقعی که رویداد های تصادفی با نرخ های ثابت در بازه زمانی به وقوع می پیوندند،کاربرد دارد.
در توزیع پواسن، را نرخ وقوع و t را بازه زمانی بین 2 وقوع و x را تعداد کل اتفاقات در بازه زمانی می نامیم.
آنگاه x دارای توزیع پواسن خواهد بود.
اجازه دهید را برابر با در نظر بگیریم و به صورت میانگین تعداد اتفاقات در بازه زمانی t تعریف کنیم.
آنگاه تابع جرم احتمال پواسن به شکل زیر خواهد بود:
میانگین و واریانس توزیع پواسن به شکل زیر خواهد بود:
توزیع یکنواخت
در توزیع یکنواخت متغیر تصادفی X را دارای توزیع یکنواخت می گوییم اگر تابع چگالی آن به شکل زیر باشد:
شکل تابع آن نیز به شکل زیر خواهد بود:
امید ریاضی و واریانس توزیع یکنواخت به شکل زیر خواهد بود:
توزیع نمایی
توزیع پرکاربرد دیگری که معرفی خواهیم کرد توزیع نمایی است که دارای تابع چگالی احتمال زیر خواهد بود:
این توزیع توسط پارامتر که نرخ نامیده می شود،شناخته می شود که نرخ خرابی یک دستگاه در هر زمان t به شرط سالم ماندن تا زمان t نیز نامیده می شود.
این توزیع معمولا برای مدل کردن زمان های بین خرابی های تصادفی استفاده می شود.
نکته مهم این است که زمانی که زمان بین رخداد های تصادفی از توزیع نمایی با نرخ پیروی کند،آنگاه تعداد کل اتفاقات در بازه زمانی t از توزیع پواسن با پارامتر پیروی خواهد کرد.
میانگین و واریانس این توزیع به شکل زیر است:
توزیع نرمال
توزیع نرمال مهم ترین توزیع در آمار می باشد،زیرا که به صورت طبیعی بوده و کاربرد های فراوانی نیز دارد.
دلیل کلیدی این است که مقادیر زیاد متغیرهای تصادفی اغلب به صورت نرمال توزیع شده اند.
متغیر تصادفی X را نرمال با پارامتر های و می نامیم اگر تابع چگالی آن به شکل زیر باشد:
میانگین و واریانس آن نیز به شکل زیر خواهد بود:
منحنی چگالی تابع توزیع نرمال به شکل زیر است:
اگر متیر تصادفی X دارای توزیع نرمال با پارامتر های µ و ϭ باشد،متغیر تصادفی Z را نرمال استاندارد با میانگین صفر و واریانس یک می گوییم اگر:
عالی